प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में "से छोटा" (less than) संबंध है

यदि $R$ तथा $S$ किसी समुच्चय $A$ पर दो अरिक्त संबंध हैं,तब निम्न में से कौन सा कथन असत्य है?

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $A = \{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\}$ में दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : |a - b| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$ एक तुल्यता संबंध है। $1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ सभी फलनों $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ का समुच्चय है और $R$,$A$ पर एक संबंध इस प्रकार है कि $R =\{( f , g ): f(0)= g (1) \text{ और } f(1)= g (0)\}$। तो $R$ है:

किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $\theta$ और $\phi$ के लिए, हम $\theta R \phi$ को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ हो। संबंध $R$ है

$\alpha \in N$ के लिए,$N$ पर एक संबंध $R$ पर विचार करें जो $R = \{(x, y) : 3x + \alpha y, 7 \text{ का एक गुणज है} \}$ द्वारा दिया गया है। संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है यदि और केवल यदि: